Плоская частица со спин-орбитальной связью в поперечной ловушке

Частица со спином $1/2$ движется в двух измерениях с дисперсией $H_0=\mathbf p^2/(2m)-\lambda\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf p$, где $\mathbf p=(p_x,p_y,0)$, а $\boldsymbol\sigma$ — матрицы Паули. (a) Найдите собственные функции в базисе $|\mathbf p,\pm\rangle$ и их энергии. Знаки $\pm$ обозначают состояния $\sigma_z=\pm1$. (b) Инвариантен ли $H_0$ относительно пространственных переносов и двумерных вращений? Если да, укажите эрмитовы генераторы. (c) На частицу действует гармонический потенциал вдоль $x$ (вдоль $y$ потенциала нет): $V(x)=m\omega^2x^2/2$. Какие из найденных симметрий сохраняются? (d) При $\lambda=0$ найдите собственные значения полного гамильтониана $H_0+V$. (e) Рассмотрите основное состояние при $\lambda=0$. Рассчитайте сдвиг энергии этого состояния при малом ненулевом $\lambda$ до второго порядка теории возмущений. Подсказка: $p_y$ сохраняется и может быть фиксирован. По координате $x$ получаем возмущённый одномерный осциллятор. Удобно представить импульс через лестничные операторы.