Бегущий импульс в бесконечной яме

Пусть известны уровни и собственные функции одномерной частицы в $V(x)$. На неё действует возмущение $a\delta(x-ct)$. (a) В момент $t\to-\infty$ частица в основном состоянии $u_i(x)$. Найдите вероятность при $t\to\infty$ обнаружить возбуждённое состояние $u_f(x)$.

(b) Представьте импульс как сумму гармонических возмущений, используя $\delta(x-ct)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega(x/c-t)}\,d\omega/(2\pi c)$. Покажите, что отдельные гармоники дают тот же результат: переходу отвечает частота $\omega_{fi}$, а амплитуда определяется матричным элементом коэффициента гармоники.

(c) Примените (a) к бесконечной яме $0<x<d$. Выразите вероятность перехода с основного на первый возбуждённый уровень через $\alpha=a/(\hbar c)$ и $\beta=d\Delta E/(2\pi\hbar c)$, $\Delta E=3\pi^2\hbar^2/(2md^2)$. Покажите, что максимум лежит при $\beta\simeq1$. Объясните связь с временем прохождения импульса через яму и характерным временем системы.