Осциллятор в представлении Гейзенберга

Осциллятор единичной массы и частоты $\omega$ имеет $H=(\hat p^2+\omega^2\hat x^2)/2$. В представлении Гейзенберга $[\hat x(t),\hat p(t)]=i$, $\hbar=1$. (a) Получите уравнения эволюции $\hat x(t),\hat p(t)$. (b) Решите их при $\hat x(0)=\hat x,\ \hat p(0)=\hat p$.

(c) Определим $\hat x(t)=(\hat a(t)+\hat a^\dagger(t))/\sqrt{2\omega}$, $\hat p(t)=-i\sqrt{\omega/2}(\hat a(t)-\hat a^\dagger(t))$. Покажите, что $[\hat a(t),\hat a^\dagger(t)]=1$. (d) Выразите $H$ через них. (e) Получите гейзенберговские уравнения для $\hat a(t),\hat a^\dagger(t)$. (f) Найдите их при $\hat a(0)=\hat a$, $\hat a^\dagger(0)=\hat a^\dagger$. (g) Выразите $\hat x(t),\hat p(t),H$ через $\hat a,\hat a^\dagger$.