Как преобразуются вакуум и одночастичное состояние

Пусть $U_\Lambda=\exp(i\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}/2)$ задаёт конечное преобразование Лоренца. Для операторов скалярных частиц можно принять
$$U_\Lambda a_{\mathbf k}U_\Lambda^\dagger=\sqrt{\omega_{\Lambda k}/\omega_k}\,a_{\boldsymbol{\Lambda k}},\qquad U_\Lambda a^\dagger_{\mathbf k}U_\Lambda^\dagger=\sqrt{\omega_{\Lambda k}/\omega_k}\,a^\dagger_{\boldsymbol{\Lambda k}}.$$
Покажите, что $U_\Lambda|0\rangle=|0\rangle$ и что релятивистски нормированное одночастичное состояние $|k\rangle=\sqrt{2\omega_k}\,a^\dagger_{\mathbf k}|0\rangle$ переходит в $|\Lambda k\rangle$.