Вакуумные флуктуации сглаженного поля

Рассмотрите свободное вещественное скалярное поле. (a) Покажите, что $\langle0|\phi(\mathbf x,t)|0\rangle=0$. Выразите $\sigma^2=\langle0|\phi^2(\mathbf x,t)|0\rangle$ одномерным интегралом и покажите, что он расходится. (b) Нормальное упорядочение переносит все $a$ направо от $a^\dagger$. Выразите $:\phi^2:$ через них и покажите, что $\langle0|:\phi^2:|0\rangle=0$, $\phi^2=:\phi^2:+\sigma^2I$.

(c) Введите $\widetilde\phi(\mathbf x,t)=(\pi^{3/2}a^3)^{-1}\int d^3y\,e^{-|\mathbf x-\mathbf y|^2/a^2}\phi(\mathbf y,t)$. Найдите среднее в вакууме. Выразите $\widetilde\sigma^2=\langle0|\widetilde\phi^2|0\rangle$ одномерным интегралом и покажите, что он конечен. (d) Без точного вычисления интеграла найдите $\alpha$ и $\gamma$ в $\widetilde\sigma^2\simeq\alpha a^\gamma$ для малых и больших $a$.