Двухточечные функции и симметрии пространства-времени

(a) Для свободного комплексного скалярного поля используйте разложение по модам и закон $U_\Lambda a_{\mathbf k}U_\Lambda^\dagger=\sqrt{\omega_{\Lambda k}/\omega_k}\,a_{\Lambda\mathbf k}$ (аналогично для $b^\dagger$), чтобы доказать $U_\Lambda\phi(x)U_\Lambda^\dagger=\phi(\Lambda x)$. Далее допускается взаимодействие. Вакуум инвариантен, $U_y\phi(x)U_y^\dagger=\phi(x+y)$. (b) Покажите, что $G_+(x,x')=\langle0|\phi(x)\phi^\dagger(x')|0\rangle$ зависит только от $x-x'$. (c) Докажите $G_+=\theta(t-t')G((x-x')^2)+\theta(t'-t)G^*((x-x')^2)$, где $G(z)$ вещественна при $z>0$. (d) Для вещественного поля докажите, что упорядоченная по времени функция $G_F(x,x')=G((x-x')^2)$.