Спиновая и орбитальная части момента поля Дирака

Для действия Дирака $S=-i\int\bar\psi(\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi\,d^4x$ (a) выпишите бесконечно малое лоренцево преобразование спинора. (b) По теореме Нётер найдите заряды $M^{\mu\nu}=L^{\mu\nu}+S^{\mu\nu}$ и покажите, что
$$L^{\mu\nu}=\int d^3x\,(x^\mu\Theta^{0\nu}-x^\nu\Theta^{0\mu}),\qquad S^{\mu\nu}=-\int d^3x\,\psi^\dagger\Sigma^{\mu\nu}\psi,$$
где $\Theta$ — тензор энергии-импульса, $\Sigma^{\mu\nu}=i[\gamma^\mu,\gamma^\nu]/4$. (c) Выразите $S^{\mu\nu}$ через операторы частиц $a,a^\dagger$ и античастиц $c,c^\dagger$. (d) Для пространственных компонент оставьте постоянную по времени часть $\widetilde S^{ij}$. Докажите, что одночастичные состояния покоя, полученные действием $a^\dagger$ или $c^\dagger$ на вакуум, имеют собственное значение $\mathbf J^2=\widetilde S^{ij}\widetilde S^{ij}/2$, соответствующее спину $1/2$.