Вейлевские спиноры и майорановская масса

В хиральном представлении $\gamma^0=\begin{pmatrix}0&iI\\iI&0\end{pmatrix}$, $\gamma^j=\begin{pmatrix}0&-i\sigma_j\\i\sigma_j&0\end{pmatrix}$, $\psi=(\psi_L,\psi_R)^T$. (a) Покажите, что поворот с $\omega_{ij}=\epsilon_{ijk}\theta_k$ действует на обе компоненты как $e^{i\boldsymbol\theta\cdot\boldsymbol\sigma/2}$. (b) Для буста $\omega_{0i}=\beta_i$ получите противоположные экспоненты $e^{\mp\boldsymbol\beta\cdot\boldsymbol\sigma/2}$ для $L,R$. (c) Покажите инвариантность дираковской массы, связывающей $\psi_L^\dagger\psi_R+\psi_R^\dagger\psi_L$, и отсутствие такой инвариантности у отдельных $\psi_L^\dagger\psi_L$ и $\psi_R^\dagger\psi_R$.

(d) Докажите $\sigma_2\boldsymbol\sigma\sigma_2=-\boldsymbol\sigma^*$ и выведите закон преобразования $\sigma_2\psi_L^*$. (e) Постройте вещественный инвариантный массовый член только из $\psi_L$. Покажите, что для обычных функций он тождественно нулевой, а для антикоммутирующих — нет. (f) Запишите полное действие с кинетическим членом и уравнения движения. (g) Сохраняется ли внутренний заряд? Может ли эта теория описывать электрон?