Сила Казимира на одномерной окружности

Дано свободное безмассовое вещественное поле на окружности длины $L$: $S=-\tfrac12\int dx\,dt\,\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$. Две «пластины» навязывают $\phi(0,t)=\phi(a,t)=0$. (a) До установки пластин выпишите разложение по модам и $E_0=\tfrac12\sum_n\omega_n$, указав частоты и индексы. (b) С пластинами возникают два отрезка $a$ и $L-a$. Найдите разложение на первом из них и его энергию $\varepsilon(a)=\tfrac12\sum_n\widetilde\omega_n$. Полная энергия $E(a)=\varepsilon(a)+\varepsilon(L-a)$.

(c) Умножьте каждое слагаемое на $e^{-\omega_n/\Lambda}$ или $e^{-\widetilde\omega_n/\Lambda}$ и вычислите суммы для конечного $\Lambda$. (d) При $\Lambda\to\infty$ сохраните расходящиеся и конечные члены. (e) Найдите $U(a)=E(a)-E_0$. Перейдите к $L\to\infty$ и вычислите силу между пластинами.