Физические поляризации и нулевые состояния фотона

В калибровке Лоренца при $\xi=1$ имеем $\mathcal L=-\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu/2$, $\pi_\mu=\partial_0A_\mu$ и $[A_\mu(t,\mathbf x),\pi^\nu(t,\mathbf x')]=i\delta_\mu^\nu\delta^3(\mathbf x-\mathbf x')$. Поле разлагается по положительным и отрицательным частотам:
$$A_\mu(x)=\sum_{\alpha=0}^3\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_k}}[\epsilon_\mu^{(\alpha)}a_{\mathbf k}^{(\alpha)}e^{ikx}+\epsilon_\mu^{(\alpha)*}a_{\mathbf k}^{(\alpha)\dagger}e^{-ikx}].$$
Здесь $\omega_k=|\mathbf k|$, $\epsilon_\mu^{(0)}=(1,\mathbf0)$, $\epsilon_\mu^{(3)}=(0,\widehat{\mathbf k})$, остальные два вектора поперечны и ортонормированы. Коммутатор мод равен $[a_{\mathbf k}^{(\alpha)},a_{\mathbf q}^{(\beta)\dagger}]=\eta^{\alpha\beta}(2\pi)^3\delta^3(\mathbf k-\mathbf q)$, $\eta=(-+++)$; все $a$ уничтожают вакуум.

(a) Найдите одновременный коммутатор $[A_0,\partial^\mu A_\mu]$ и объясните, почему дивергенцию нельзя положить нулём как оператор. (b) Объясните, почему условие $\partial^\mu A_\mu|\psi\rangle=0$ исключило бы вакуум. Пусть $\mathcal H_{\rm small}$ задаётся обращением в нуль только уничтожающей части дивергенции. Покажите, что у допустимых состояний нет отрицательной нормы. (c) Покажите, что все матричные элементы полной дивергенции между этими состояниями равны нулю.

(d) Введите $b^\pm=(a^3\pm a^0)/\sqrt2$ для каждой моды. Запишите физическое условие через $b^+$. (e) Вычислите четыре коммутатора $[b^\pm,(b^\pm)^\dagger]$ и $[b^\pm,(b^\mp)^\dagger]$ и опишите допустимые состояния операторами рождения. (f) Докажите, что компонент с возбуждением $(b^+)^\dagger$ имеет нулевую норму и ортогонален всему $\mathcal H_{\rm small}$. (g) Выделите в произвольном физическом состоянии чисто поперечную и нулевую части. (h) Для $|k,+\rangle=\sqrt{2\omega_k}(b_{\mathbf k}^+)^\dagger|0\rangle$ покажите, что $\langle0|A_\mu(x)|k,+\rangle=\partial_\mu\lambda$ с $\Box\lambda=0$. (i) Проверьте то же для пакета $\int d^3k\,f(\mathbf k)|k,+\rangle$.