Связанные и проходящие состояния в потенциалах Пёшля — Теллера

Если вы не знакомы с гиперболическими функциями и, например, с равенствами $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ и $\tanh^2x=1-\operatorname{sech}^2x$, попробуйте решить задачу вместе с товарищем, которому они знакомы. В одномерном уравнении Шрёдингера координата и энергия безразмерны, $\hbar=2m=1$. Гамильтонианы Пёшля — Теллера заданы как $H_n^{PT}=-d^2/dx^2-n(n+1)\operatorname{sech}^2x$, $n=0,1,2,\ldots$. Требуется найти все связанные состояния и их энергии для всего семейства.
(a) Для суперпотенциалов $W_n=n\tanh x$ постройте $A_n,A_n^\dagger,H_n^{(1)},H_n^{(2)}$. Докажите $H_n^{(1)}=H_{n+1}^{(2)}-(2n+1)$. Свяжите $H_n^{(1)},H_n^{(2)}$ с $H_n^{PT}$.
(b) Покажите, что у $H_n^{(1)}$ есть основное состояние $E=0$. Найдите его для каждого $n$. Нормировка не требуется.
(c) У $H_1^{(1)}$ есть связанное состояние $E=0$. Используя соотношение (a) и общие свойства партнёров, заключите, что у $H_2^{(1)}$ есть связанное состояние с определённой положительной энергией. Найдите её.
(d) Допустим, что у $H_1^{(1)}$ только одно связанное состояние. Покажите, что у $H_n^{(1)}$ их ровно $n$. Найдите все энергии и выразите каждую собственную функцию через дифференциальные операторы, действующие на функции из (b).
(e) Каково низшее собственное значение $H_0^{(1)}$? Докажите, что у $H_1^{(1)}$ нет второго связанного уровня между 0 и 1.
(f) Каковы все энергии связанных состояний $H_n^{PT}$?
(g) Этот пункт необязателен. Потенциалы $-n(n+1)\operatorname{sech}^2x$ стремятся к нулю при $x\to\pm\infty$ и допускают рассеяние при положительной энергии. Для $H_0^{PT}$ волна $e^{ikx}$ имеет энергию $k^2$. Найдите волновую функцию рассеивающего состояния с той же энергией при $n=1,2$. Вычислите коэффициенты отражения и прохождения $R_n(k),T_n(k)$; докажите $R_n=0$ и $|T_n|=1$. Рассчитайте только случаи $n=1,2$, хотя отсутствие отражения справедливо при всех $n$.