Совместимые наблюдаемые при спин-орбитальном взаимодействии

С учётом спин-орбитального взаимодействия электронный гамильтониан водорода без внешних полей равен $H=H_0+(2\mu_B^2/r^3)\mathbf L\cdot\mathbf S/\hbar^2$, где $H_0=\mathbf p^2/(2m)-e^2/r$, а $\mathbf S$ — спин электрона. Примите это как определение $H$.
(a) Вычислите коммутаторы $H$ с $L^2,L_z,S^2,S_z,J^2,J_z$, где $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$. Каков наибольший набор взаимно коммутирующих операторов из перечисленных, содержащий $H$?
(b) Рассмотрите состояния с радиальными функциями радиального гамильтониана $H_0$ при $n=1,2$. Какие $\ell,s,j,m_j$ возможны? С учётом спин-орбитальной связи состояния не все вырождены. Сколько существует разных энергий и какова кратность каждой? Нарисуйте уровни в порядке энергий. Определите, какие выше, какие ниже, без вычисления величины расщеплений.
(c) Включите однородное магнитное поле $\mathbf B=B\mathbf e_z$, добавив $H_B=(\mu_B/\hbar)\mathbf B\cdot(\mathbf L+g\mathbf S)$, $g\simeq2$. Повторите (a).