Сложение ℓ=1 со спином 1/2 и измерение магнитной энергии

Частица со спином 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом $\ell=1$. Требуется найти коэффициенты Клебша — Гордана для перехода от состояний определённых спинового и орбитального моментов к состояниям определённого полного момента. Несвязанный базис $|\ell s m_\ell m_s\rangle$ диагонализует $L^2,S^2,L_z,S_z$, связанный $|j,m\rangle$ — $J^2,J_z$.
(a) Представьте состояние с максимальными $j$ и $m=j_{\max}$ в несвязанном базисе.
(b) Получите все состояния $|j_{\max},m\rangle$ при помощи $J_-=L_-+S_-$.
(c) По ортонормированности найдите $|j_{\max}-1,j_{\max}-1\rangle$.
(d) Получите все $|j_{\max}-1,m\rangle$ с помощью $J_-$.
(e) Повторите (c),(d) для меньших $j$ столько раз, сколько потребуется.
(f) Найдите средние $L_z,S_z$ в состоянии $j=1/2,m=1/2$.
(g) Пусть электрон движется во внешнем поле $\mathbf B=B\mathbf e_z$, $g=2$. Каково среднее $H_B=(\mu_B/\hbar)\mathbf B\cdot(\mathbf L+2\mathbf S)$ в каждом $|j,m\rangle$?
(h) Какие значения магнитной энергии возможны в состоянии $j=1/2,m=1/2$ и каковы их вероятности? Для дополнительной практики можете найти коэффициенты сложения момента $\ell$ со спином 1. Этот случай требует довольно много алгебры.