Совместное действие спин-орбитальной связи и эффекта Зеемана

Рассмотрите атом с одним валентным электроном в состоянии $\ell=1$ или электрон с $\ell=1$ в центральном потенциале. В однородном поле $\mathbf B=B\mathbf e_z$ магнитные члены гамильтониана имеют вид
$$H=(\mu_BB/\hbar)(L_z+2S_z)+(2W/\hbar^2)\mathbf L\cdot\mathbf S.$$
Постоянная по величине порядка $W\sim Z_{\rm eff}^4e^2\hbar^2/(m_e^2c^2a_0^3)$, где $a_0$ — боровский радиус, а $Z_{\rm eff}$ — эффективный заряд ядра для электрона. Собственные состояния $L_z$ обозначены $\phi_1,\phi_0,\phi_{-1}$; состояния $S_z$ — $+,-$. Базис $\psi_1,\ldots,\psi_6$ — произведения в порядке $(1,+),(1,-),(0,+),(0,-),(-1,+),(-1,-)$.
(a) Докажите $\mathbf L\cdot\mathbf S=(L_+S_-+L_-S_+)/2+L_zS_z$.
(b) Найдите $H|\psi_1\rangle,\ldots,H|\psi_6\rangle$. Например, $H|\psi_3\rangle=\sqrt2W|\psi_2\rangle+\mu_BB|\psi_3\rangle$.
(c) Запишите матрицу гамильтониана размера шесть на шесть в базисе произведений.
(d) Найдите собственные значения. Каковы они при $B\ll W/\mu_B$ (слабый эффект Зеемана; все шесть ответов должны иметь вид суммы члена, пропорционального $W$, и члена, пропорционального $B$)? А при $B\gg W/\mu_B$ (сильный эффект)?
(e) Постройте шесть собственных значений от нулевого до большого поля, показав три режима: слабое, промежуточное и сильное поле.
(f) Каждое собственное состояние меняется с полем. Не вычисляя векторы при промежуточном поле, укажите для каждой энергетической ветви собственные состояния в слабом и сильном полях. Можно обозначить их на диаграмме (e).