Матричные элементы поперечного момента импульса

(a) Вычислите $\langle\ell m_1|\hat L_x|\ell m_2\rangle$ и $\langle\ell m_1|\hat L_y|\ell m_2\rangle$.
(b) Вычислите $\langle\ell m_1|\hat L_x^2|\ell m_2\rangle$ и $\langle\ell m_1|\hat L_y^2|\ell m_2\rangle$.
(c) Частица находится в собственном состоянии $\hat L^2,\hat L_z$ с квантовыми числами $\ell,m$. Чему равны $\langle\hat L^2\rangle,\langle\hat L_x^2\rangle,\langle\hat L_y^2\rangle,\langle\hat L_z^2\rangle$?
(d) Рассмотрите произвольное состояние $|\psi\rangle=\sum_{\ell,m}c_{\ell,m}|\ell,m\rangle$. Докажите, что $\langle\hat L_x^2\rangle=\langle\hat L_y^2\rangle=0$ возможно лишь при $c_{0,0}=1$ и нулевых остальных коэффициентах.