Радиальная факторизация двумерного осциллятора

Изотропный двумерный осциллятор массы $M$ имеет гамильтониан $H=(p_x^2+p_y^2)/(2M)+M\omega^2(x^2+y^2)/2$. В полярных координатах
$$H=-\tfrac{\hbar^2}{2M}(\partial_\rho^2+\rho^{-1}\partial_\rho)+L_z^2/(2M\rho^2)+M\omega^2\rho^2/2,$$
где $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ и $L_z=xp_y-yp_x=-i\hbar\partial_\phi$.
(a) Из $[L_z,H]=0$ пусть $|E,m\rangle$ — общие собственные состояния с $H|E,m\rangle=E|E,m\rangle$, $L_z|E,m\rangle=m\hbar|E,m\rangle$. Какова ожидаемая зависимость $\psi_{E,m}(\rho,\phi)$ от $\rho,\phi$? Найдите зависимость от $\phi$ явно и укажите допустимые $m$.
(b) Положите $f(\rho)=u(\rho)/\sqrt\rho$ и выведите радиальное уравнение для $u$. Найдите $a,b$ для безразмерных $r=\rho/b,\ \epsilon_{\nu,m}=a E_{\nu,m}$, чтобы $H_mu=\epsilon_{\nu,m}u$, где $H_m=-d^2/dr^2+(m^2-1/4)/r^2+r^2$.
(c) Для суперпотенциала $W_m=-(|m|+1/2)/r+r$ найдите партнёрские гамильтонианы $H_m^{(1)},H_m^{(2)}$. Свяжите их друг с другом и с $H_m$.
(d) Предположите, что у $H_m^{(1)}$ есть нулевой уровень, не строя его явно. При желании постройте: должно получиться $u_{0,m}=r^{|m|+1/2}e^{-r^2/2}$, откуда $u_{0,m}(0)=0$. С помощью суперсимметричного метода докажите, что энергии $H_m$ равны $\epsilon_{\nu,m}=2|m|+4\nu+2$, $\nu=0,1,\ldots$. Чему равны энергии исходного гамильтониана? Согласуются ли с ожидаемыми наименьшая энергия, энергия и кратность вырождения первого возбуждённого уровня?