Скалярное произведение орбитального и спинового моментов

Пример: $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$.

1. $[\mathbf L,\mathbf S]=0$. Поэтому $\mathbf L$ и $\mathbf S$ служат скалярными операторами относительно друг друга.
2. $\mathbf L$ и $\mathbf S$ — векторы относительно $\mathbf J$.
3. $\mathbf L\cdot\mathbf S$ — скаляр относительно $\mathbf J$.
4. $\mathbf L\times\mathbf S$ даёт компоненты вектора относительно $\mathbf J$. [Поскольку $\mathbf L\times\mathbf S$ состоит из произведений компонент двух векторов, оно могло бы вести себя как тензор второго ранга. Но это не так!]

[Вне лекции: из 1 и 2 докажите 3.]