Последние связанные уровни потенциала Леннарда — Джонса

Квантование по методу Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ). Рассмотрим потенциал Леннарда — Джонса
$$V(x)=\epsilon+4\epsilon[(\sigma/x)^{12}-(\sigma/x)^6].$$
Пусть $\epsilon=100,m=100,\sigma=1,\hbar=1$, $h=2\pi$.

A. Чему равен $V(x)$ в минимуме потенциала, где $dV/dx=0$?

B. Какова разность энергий между $V(x_{\min})$ и $V(\infty)$? Её называют энергией диссоциации $D_e$.

C. Используя квантование ВКБ, определите общее число уровней, связанных потенциалом $V(x)$. Это не обязательно целое число обозначим $v_D$. [Подсказка: $E_D=V(\infty)$; найдите $x_-(E_D)$.]

D. Классический период колебаний равен $h\,dn/dE$. Продифференцируйте условие квантования ВКБ по $E$ и найдите $dn/dE$. Вычислите период для трёх целых значений непосредственно ниже нецелого $v_D$. [Может понадобиться численное интегрирование.]

E. Для трёх колебательных уровней из D оцените положения первых внутренних узлов сразу справа от $x_-(E)$ и сразу слева от $x_+(E)$. [Подсказка: в точке поворота фаза ВКБ-функции равна $\pi/4$ и растёт при движении от неё в классически разрешённую область. До первого узла набегает ещё $3\pi/4$.]

F. С помощью классической механики вычислите время движения от $x_\pm(E)$ до первого внутреннего узла. Сила равна $-dV/dx$. Здесь можно приближённо заменить $V(x)$ линейной функцией с наклоном, равным наклону в $x_\pm(E)$. Рассмотрите области обеих точек поворота для всех трёх уровней из D.

G. Какую долю периода система проводит в крайнем внешнем лепестке колебательной волновой функции? [Точнее: «Какова вероятность найти систему в указанном интервале $x$?»] А во внутреннем лепестке? Каково отношение времён, или, точнее, вероятностей для этих лепестков на трёх высших колебательных уровнях? Результат должен вас удивить.

H. Исходя только из ответа на G, объясните, почему дальнодействующую зависимость $D(v_D-v)^3=E_{v_D}-E_v$, где $D$ постоянно, можно установить целиком по члену притяжения $x^{-6}$ независимо от характера отталкивающей ветви $x^{-12}$. Согласуется ли полученное $D$ с теорией Ле Руа для дальнодействующего потенциала $C_6R^{-6}$?