Почему у скалярных сферических гармоник нет полуцелого ℓ

Коммутационные соотношения разрешают $\ell=0,1/2,1,3/2,\ldots$, однако гильбертовы пространства с полуцелым орбитальным моментом несовместимы с квантовой механикой орбитального движения.
(a) Предположим, что $\ell=1/2$ допустимо. Найдите гармонику при $\ell=m=1/2$ из уравнений $L_+|1/2,1/2\rangle=0$ и $L_3|1/2,1/2\rangle=(\hbar/2)|1/2,1/2\rangle$. В форме $Y_{1/2,1/2}=N(\sin\theta)^a e^{ib\phi}$ найдите $a,b$ и покажите нормируемость.
(b) Повторите (a) для $\ell=1/2,m=-1/2$.
(c) Докажите, что применение $L_-$ к $Y_{1/2,1/2}$ не даёт $Y_{1/2,-1/2}$. Поскольку лестничное соотношение следует из коммутаторов и эрмитовости, орбитальный момент нельзя реализовать эрмитовыми операторами в подпространстве этих двух состояний.
(d) При $\ell=m=3/2$ таким же путём получается $Y_{3/2,3/2}=c(\sin\theta)^{3/2}e^{3i\phi/2}$, для которого $L_+Y=0$. Последовательным действием $L_-$ постройте $Y_{3/2,-3/2}$. Докажите, что оно не уничтожается $L_-$ и даже не нормируется. Частицы с полуцелым собственным моментом, спином, действительно существуют; их спин не является свойством движения в пространстве и не описывается волновой функцией углов $\theta,\phi$. Для орбитального момента используют $L^2,L_z,\ell$, а для общего момента $J^2,J_z,j,m$, так что $J^2|j,m\rangle=\hbar^2j(j+1)|j,m\rangle$ при целом или полуцелом $j$.