Пространственная чётность состояния с орбитальным моментом ℓ

Оператор чётности определён как $\Pi|\mathbf r\rangle=|-\mathbf r\rangle$ и является эрмитовым и унитарным, $\Pi^\dagger=\Pi=\Pi^{-1}$, $\Pi^2=I$. Выясните его действие на $|\ell,m\rangle$.
(a) Пользуясь одномерными результатами для $|x\rangle,|p\rangle$, найдите $\langle\mathbf r|\mathbf p\rangle$ и $\langle\mathbf p|\mathbf r\rangle$. Выведите аналог исходного равенства для $\Pi|\mathbf p\rangle$.
(b) Для антикоммутатора $\{A,B\}=AB+BA$ докажите $\{\Pi,r_i\}=\{\Pi,p_i\}=0$. Затем докажите $[\Pi,L_i]=0$.
(c) Общие кеты $L^2,L_z$ полны и невырождены в пространстве углов. Почему $\Pi|\ell,m\rangle=\lambda_{\ell,m}|\ell,m\rangle$ с вещественными собственными значениями? Докажите $\lambda_{\ell,m}^2=1$.
(d) Из $[\Pi,L_i]=0$ следует $[\Pi,(L_\pm)^k]=0$ для целых $k>0$. Докажите независимость $\lambda_{\ell,m}$ от $m$. Подсказка: примените $[\Pi,L_+]=0$ к $|\ell,0\rangle$.
(e) Чему равно $\langle\mathbf r|\Pi=\langle-\mathbf r|$ в сферических координатах? Используя $\langle\theta,\phi|\ell,\ell\rangle=Y_{\ell,\ell}=c_\ell(\sin\theta\,e^{i\phi})^\ell$, выведите $\lambda_\ell=(-1)^\ell$. В результате $\Pi|\ell,m\rangle=(-1)^\ell|\ell,m\rangle$.