Распределение когерентных амплитуд за линейным усилителем

Фазонечувствительный усилитель с усилением $G$ и вакуумной вспомогательной модой переводит вход $|\alpha_{\rm in}\rangle$ в смесь когерентных состояний с плотностью $\exp[-|\alpha-\sqrt G\alpha_{\rm in}|^2/(G-1)]/[\pi(G-1)]$. Для классического входного состояния с плотностью $P_{\rm in}$ выведите выходную $P$-функцию как двумерную свёртку $G^{-1}P_{\rm in}(\alpha/\sqrt G,\alpha^*/\sqrt G)$ и $\exp[-|\alpha|^2/(G-1)]/[\pi(G-1)]$.