Алгебра компонент спина одной второй

Оператор $S_z$ задаётся формулой $S_z=\tfrac\hbar2(|+\rangle\langle+|-|-\rangle\langle-|)=\hbar\sigma_z/2=\tfrac\hbar2\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$. Аналогично $S_x=\tfrac\hbar2(|+\rangle\langle-|+|-\rangle\langle+|)=\hbar\sigma_x/2=\tfrac\hbar2\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $S_y=-\tfrac{i\hbar}2(|+\rangle\langle-|-|-\rangle\langle+|)=\hbar\sigma_y/2=\tfrac\hbar2\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$. Прямой проверкой (оставленной в качестве упражнения) убедитесь, что эти операторы удовлетворяют соотношениям
$$[S_a,S_b]=i\hbar\epsilon_{abc}S_c,\quad \{S_a,S_b\}=\frac{\hbar^2}{2}\delta_{ab}\mathbf1,\quad S^2:=S_aS_a=\frac34\hbar^2\mathbf1,\quad[S^2,S_a]=0,$$где $[\cdot,\cdot]$ — коммутатор, $\{\cdot,\cdot\}$ — антикоммутатор, а $\epsilon_{abc}$ — полностью антисимметричный трёхиндексный тензор (символ Леви-Чивиты).