Уровни бесконечной сферической ямы и нули сферических функций Бесселя

Найдите энергии нескольких нижних уровней при разных $\ell$ в бесконечной сферической яме, где $V=0$ при $r\le b$ и $V=\infty$ при $r>b$. В отличие от потенциала $1/r$, здесь уровни с разными $\ell$ не вырождены.
(a) Сначала пусть $V=0$ всюду. В базисе компонент импульса решения — плоские волны $\psi\propto e^{i(xp_x+yp_y+zp_z)/\hbar}$. Чтобы затем наложить условие $\psi=0$ при $r=b$, удобнее выбрать общие состояния $H,L^2,L_z$ вида $\psi=u_\ell(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi)/r$. Уравнение для $u$ имеет вид $-\hbar^2u''/(2m)+\hbar^2\ell(\ell+1)u/(2mr^2)=Eu$, $u(0)=0$. Покажите, что при $k^2=2mE/\hbar^2$, $z=kr$ оно переходит в $-u_\ell''(z)+\ell(\ell+1)u_\ell/z^2=u_\ell$. Решения имеют вид $u_\ell^0=zj_\ell(z)$, $j_\ell(z)=(-z)^\ell[(1/z)d/dz]^\ell(\sin z/z)$. Это сферическая функция Бесселя порядка $\ell$. Выпишите $zj_0,zj_1,zj_2$ и проверьте первые два подстановкой в уравнение. Дополнительная задача: докажите это для произвольного $\ell$. Сдавать этот вывод не требуется; возможны разные способы, в том числе суперсимметричный.
(b) В сферической яме добавляется условие $u(b)=0$. i. Для $\ell=0$ найдите допустимые $k$ и энергии. ii. Для $\ell=1$ найдите их графически. Докажите, что при большом $n$ энергия $n$-го уровня приближённо равна $\hbar^2\pi^2(n+1/2)^2/(2mb^2)$. iii. Нули $j_0$ получаются аналитически, остальные численно. Ниже перечислены все нули при $z<11$ для $\ell\ge1$: $j_1$: 4,49; 7,73; 10,90; $j_2$: 5,76; 9,10; $j_3$: 6,99; 10,42; $j_4$: 8,18; $j_5$: 9,36; $j_6$: 10,31. При каждом $\ell$ нулей бесконечно много. При желании проверьте некоторые значения по найденным функциям. Нарисуйте диаграмму уровней с отдельным столбцом для каждого $\ell$. Как заполнение уровней водорода электронами даёт первое представление о структуре атома, так и эта диаграмма даёт грубое приближение для заполнения ядерных уровней нейтронами и протонами. Реальное ядерное взаимодействие сложнее, в частности зависит от спина, но оно короткодействующее. Бесконечная яма даёт приближение для глубокой конечной ямы.