Длина рассеяния и эффективный радиус сферической ямы

При $k^2=2mE/\hbar^2>0$, $z=kr$ фазовый сдвиг определяется асимптотикой $u_\ell(z)\sim\sin(z-\ell\pi/2+\delta_\ell(k))$ при $z\to\infty$; $u_\ell(0)=0$.
(b) Пусть $V(r)=-V_0$ при $r<b$, $V(r)=0$ при $r>b$, $V_0>0$. Решите уравнение Шрёдингера для $\ell=0,k^2>0$. При конечном скачке потенциала непрерывны $u,u'$. Получите уравнение для $\delta_0(k)$ и постройте результат при столь малом $V_0$, что связанных состояний нет. Обсудите пределы большой и малой энергии ($k^2\gg mV_0/\hbar^2$ и $k^2\ll mV_0/\hbar^2$) как для ямы, так и для отталкивающего потенциала $+V_0$ внутри сферы. Ответ: $k\cot(kb+\delta_0)=q\cot(qb)$, $q^2=2m(E+V_0)/\hbar^2$. Для слабой ямы $\delta_0(0)=0$, сначала фаза растёт линейно, достигает максимума и убывает к нулю. Выведите, изобразите и обсудите результат.
(c) Для притягивающей ямы при малых $k$ имеем $k\cot\delta_0=-1/a+r_{\rm eff}k^2/2+O(k^4)$. Выразите $a,r_{\rm eff}$ через $b,V_0$. Это прямое, но громоздкое разложение Тейлора; автор настоятельно рекомендует Mathematica или аналогичную программу. Обычно длина $a$ по порядку близка к $b$, но покажите, что при некоторых $V_0$ и фиксированном $b$ величина $a/b$ расходится. Параметры называются длиной рассеяния и эффективным радиусом; аналогичное разложение для регулярных потенциалов позволяет описывать их низкоэнергетическое рассеяние эффективной прямоугольной ямой.
(d) Есть ли что-либо особенное в энергиях связанных состояний при тех $V_0$, для которых $a/b$ расходится? Объясните.
(e) Найдите $s$-волновой фазовый сдвиг для $V(r)=\infty$ при $r<b$ и нуля снаружи (непроницаемой сферы).