Радиальное уравнение и основное состояние водородоподобного иона

Электрон связан с ядром заряда $Ze$ кулоновским потенциалом $V(r)=-Ze^2/r$. Используется гауссова система, приведённая масса $1/\mu=1/m_e+1/M$. Радиальная функция удовлетворяет
$$[-\hbar^2/(2\mu)\,d^2/dr^2+\hbar^2\ell(\ell+1)/(2\mu r^2)-Ze^2/r]u=-Bu.$$
(a) Введите $r=bx$. Выберите $b$, чтобы получить $[-d^2/dx^2+\ell(\ell+1)/x^2-1/x]u=-\kappa^2u$. Найдите $b,\kappa$ через $Z,e,\mu,\hbar,B$.
(b) Покажите, что при малом $x$ функция ведёт себя как $x^{\ell+1}$, а при большом — как $e^{-\kappa x}$.
(c) Простейшее предположение по (b): $u_\ell=A_\ell x^{\ell+1}e^{-\kappa x}$. Покажите, что это точное решение, найдите $\kappa$ и энергию связи.
(d) Объясните словами или рисунками, почему при данном $\ell$ это наиболее сильно связанное состояние.
(e) Найдите $\langle r\rangle,\langle r^2\rangle,\langle1/r\rangle$ в основном состоянии водородоподобного атома. Выразите через $a_0=\hbar^2/(me^2)$.
(f) В собственном состоянии $E_{n,\ell}=\langle p^2/(2m)-Ze^2/r\rangle$. Теорема вириала для кулоновского потенциала даёт $\langle p^2/(2m)\rangle=\langle Ze^2/r\rangle/2$. Проверьте её, рассчитав энергию основного состояния с результатом (e).
(g) Вычислите $\langle p^2/(m^2 c^2)\rangle$ в основном состоянии водорода ($Z=1$), обозначив результат $\alpha^2$. Вычислите $\alpha$ численно и покажите, что она безразмерна и приблизительно равна $1/137$. Это показывает, что электрон в водороде нерелятивистский. Величина $\alpha$ характеризует силу электромагнитного взаимодействия через $e,\hbar,c$. При изменении массы «электрона» водородоподобный атом не становится более или менее релятивистским. Например, в позитронии (позитрон и электрон) или мюонии (атом из протона и мюона массы $207m_e$) среднеквадратичная скорость заряженных частиц всё ещё равна $\alpha$.