Узлы волновых функций

Запишем уравнение Шрёдингера в виде

$$\psi''+(\mathcal E-U(x))\psi=0.$$

Пусть $\psi_k$ — собственное состояние энергии с энергией $\mathcal E_k$, а $\psi_{k+1}$ — собственное состояние энергии с энергией $\mathcal E_{k+1}$, большей, чем $\mathcal E_k$.

(a) Покажите, что

$$\left.\left(\psi_{k+1}\psi'_k-\psi_k\psi'_{k+1}\right)\right|_a^b=(\mathcal E_{k+1}-\mathcal E_k)\int_a^b dx\,\psi_k\psi_{k+1}.\tag{1}$$

(b) Теперь пусть $a$ и $b$, где $a<b$, — два последовательных нуля $\psi_k(x)$; для удобства предположим, что $\psi_k(x)>0$ при $a<x<b$. Используя (1), покажите, что $\psi_{k+1}$ должна менять знак в интервале $(a,b)$. Иными словами, между каждой парой последовательных нулей $\psi_k$ должен быть хотя бы один нуль $\psi_{k+1}$. Указание: рассмотрите знаки обеих частей уравнения (1), предположив, что $\psi_{k+1}$ не меняет знак в $(a,b)$.