Вариационный принцип и возбуждённые состояния

(a) Рассмотрите нормированные пробные волновые функции $\psi(x)$, ортогональные волновой функции основного состояния $\psi_1$:

$$\int dx\,\psi_1^*(x)\psi(x)=0.$$

Покажите, что энергия первого возбуждённого состояния $E_2$ ограничена следующим образом:

$$E_2\leq\int dx\,\psi^*(x)H\psi(x).$$

Этот результат допускает очевидное обобщение, которое доказывать не требуется: пробные волновые функции, ортогональные $n$ низшим собственным состояниям энергии, дают верхнюю границу энергии $(n+1)$-го состояния.

(b) Предположим, что можно использовать вещественные волновые функции, и рассмотрим функционал

$$\mathcal F(\psi)=\frac{\int dx\,\psi(x)H\psi(x)}{\int dx\,\psi(x)\psi(x)}.$$

У этого функционала есть замечательное свойство: он стационарен на собственных состояниях энергии. Выполните вычисление, подтверждающее это в частном случае и позволяющее выяснить характер стационарной точки. Возьмём

$$\psi(x)=\psi_2(x)+\sum_{n=1}\epsilon_n\psi_n(x).\tag{3}$$

Это первое возбуждённое состояние с малыми добавками других собственных состояний энергии: все $\epsilon$ считаются малыми. Вычислите функционал $\mathcal F$ для этой волновой функции, учитывая квадратичные по $\epsilon$ члены и пренебрегая кубическими и более высокими порядками. Убедитесь, что все линейные по $\epsilon$ члены сокращаются, то есть функционал действительно стационарен на $\psi_2(x)$. Исчезает ли какой-либо из параметров $\epsilon$ из результата с точностью до квадратичного порядка? Обсудите характер стационарной точки: максимум, минимум, направления постоянного значения или седло.