Связанное состояние в притягивающем потенциале

Основано на пункте (b) упражнения 5.2.2 из Шанкара, с. 163. Используя вариационный принцип, докажите, что любой притягивающий потенциал в одном измерении должен иметь хотя бы одно связанное состояние. Под притягивающим понимается потенциал, стремящийся к нулю на плюс и минус бесконечности:

$$\lim_{x\to\pm\infty}|V(x)|=0,$$

кусочно-непрерывный, нигде не положительный и не равный тождественно нулю. Следовательно, $V(x)=-|V(x)|$.

Для доказательства рассмотрите пробную волновую функцию

$$\psi_\alpha(x)=\left(\frac\alpha\pi\right)^{1/4}e^{-\alpha x^2/2}$$

и покажите, что при подходящем выборе $\alpha$ среднее значение $E(\alpha)$ оператора $\hat H$ в этом состоянии

$$\begin{aligned}E(\alpha)&=\int dx\,\psi_\alpha(x)\hat H\psi_\alpha(x),\\\hat H&=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}-|V(x)|\end{aligned}$$

можно сделать отрицательным. Найти вклад потенциального члена в $E(\alpha)$ непросто: для произвольного притягивающего $V(x)$ его нельзя вычислить явно, но достаточно получить оценку.

Оценку можно получить, найдя точку $x_0$, в которой потенциал непрерывен и отрицателен; такая точка должна существовать. Предположим, что

$$|V(x_0)|=2v_0>0.$$

Поскольку потенциал стремится к нулю на плюс и минус бесконечности, существует конечный интервал $[x_1,x_2]$ вокруг $x_0$, где $x_1<x_0<x_2$ и $\Delta\equiv x_2-x_1$, на котором

$$|V(x)|\geq v_0.$$

Объясните, как оценить потенциальный член, заменив $V(x)$ потенциалом $\widetilde V$, равным $-v_0$ при $x\in[x_1,x_2]$ и нулю вне этого интервала.