Вариационный метод для потенциала четвёртой степени

Рассмотрите уравнение Шрёдингера:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\alpha x^4\psi=E\psi.$$

(a) Выполните замену координаты $x=\beta u$ и определите постоянную $\beta$, при которой дифференциальное уравнение принимает вид

$$-\frac12\frac{d^2\psi}{du^2}+(u^4-e)\psi=0.$$

Как энергия $E$ выражается через безразмерную постоянную $e$?

(b) С помощью системы компьютерной алгебры, умеющей работать с дифференциальными уравнениями, определите значение $e$ для энергии основного состояния с точностью до шести цифр: $e\simeq0.67$. Для этого попробуйте численно проинтегрировать уравнение, начиная с $u=0$, задав $\psi(0)=1$ и $\psi'(0)=0$. Почему эта производная равна нулю? Только при дискретных значениях $e$ решение не возрастает неограниченно при больших $u$. Требуется наименьшее из таких значений $e$.

(c) Предложите пробную волновую функцию для вариационного принципа и определите верхнюю границу энергии первого возбуждённого состояния.

(d) С помощью системы компьютерной алгебры определите следующее после наименьшего значение $e$ с точностью до трёх цифр и сравните его с полученной вариационной оценкой.