Спин ½ вдоль произвольной оси

(a) Ненормированное спиновое состояние имеет вид

$$(1+i)|+\rangle-(1+i\sqrt3)|-\rangle.$$

В каком направлении ориентировано это спиновое состояние?

(b) Рассмотрите следующую последовательность опытов:

(i) Сначала приготовьте пучок атомов со спином ½, находящихся в состоянии $|+\rangle$: пропустите пучок через прибор Штерна—Герлаха, ориентированный вдоль $\hat z$, и оставьте только атомы, для которых измерено собственное значение $+\hbar/2$.

(ii) Затем пропустите эти атомы через второй прибор Штерна—Герлаха, измеряющий $\hat S_{\vec n}$ для некоторого направления $\vec n$ в плоскости $(x,z)$. Таким образом, $\phi=0$, $\theta\neq0$. Оставьте только атомы с собственным значением $\hbar/2$.

(iii) Наконец, пропустите оставшиеся атомы через третий прибор Штерна—Герлаха, ориентированный вдоль того же направления $\hat z$, что и первый.

Какая доля всех атомов, попавших во второй магнит, будет обнаружена третьим магнитом в состоянии $|+\rangle$? Какая доля — в состоянии $|-\rangle$? Какая доля вообще не дойдёт до третьего магнита? Ответы будут функциями угла $\theta$. Объясните, почему они разумны при $\theta=0$, когда $\vec n$ направлен вдоль $z$; при $\theta=\pi/2$, когда $\vec n$ направлен вдоль $x$; и при $\theta=\pi$, когда $\vec n$ направлен вдоль $-z$.