Поворот спинового состояния

Определим оператор $\hat R_{\mathbf n}(\alpha)$, где $\alpha$ вещественно, а $\mathbf n$ — единичный вектор:

$$\hat R_{\mathbf n}(\alpha)\equiv\exp\left(-\frac{i\alpha\hat S_{\mathbf n}}{\hbar}\right)=\exp\left(-i\frac\alpha2\,\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma\right).$$

Здесь использовано соотношение $\hat S_{\mathbf n}=\frac\hbar2\,\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma$.

(a) Используя определение экспоненты и свойства матриц Паули $\sigma$, покажите, что

$$\hat R_{\mathbf n}(\alpha)=I\cos\frac\alpha2-i\,\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf n\,\sin\frac\alpha2.$$

Прямым вычислением убедитесь, что $\hat R_{\mathbf n}(\alpha)$ унитарен.

(b) Для краткости обозначим $\hat R_{\hat e_y}(\alpha)$ через $\hat R_y(\alpha)$. Выразите оператор

$$\hat R_y(\alpha)\hat S_z\hat R_y(\alpha)^\dagger$$

через $\hat S_x$, $\hat S_y$ и $\hat S_z$.

(c) Найдите состояние, полученное действием $\hat R_y(\alpha)$ на $|+\rangle$. Для какого оператора полученное состояние является собственным с собственным значением $\hbar/2$? Объясните, почему $\hat R_y(\alpha)$ можно считать оператором поворота. Аналогично можно показать, что $\hat R_{\mathbf n}(\alpha)$ — оператор поворота вокруг оси, направленной вдоль $\mathbf n$.