Коммутаторы координаты и импульса

В этой задаче $A$, $B$ и $C$ — линейные операторы. Операторы $q$ и $p$ также линейны.

(a) Докажите тождество для коммутатора:

$$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$$

Это свойство дифференцирования коммутатора: коммутатор с $A$, то есть $[A,\cdot]$, действует на произведение $BC$ подобно производной. В результате коммутатор сначала берётся с $B$, затем с $C$, а оператор, остающийся без изменения, стоит на соответствующем месте.

(b) Докажите тождество Якоби:

$$[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0.$$

(c) Используя $[q,p]=i\hbar$ и результат (a), покажите, что

$$[q^n,p]=i\hbar nq^{n-1}.$$

(d) Для любой функции $f(q)$, раскладываемой в степенной ряд по $q$, используйте (c), чтобы показать:

$$[f(q),p]=i\hbar f'(q).$$

(e) В пространстве функций координаты оператор $f(x)$ действует умножением, а $p$ — как $\frac\hbar i\frac{\partial}{\partial x}$. Вычислите $[f(x),p]$, применив этот оператор к произвольной волновой функции.