Оператор пространственного сдвига

Пусть $A$ и $B$ — два некоммутирующих оператора: $[A,B]\neq0$.

(a) Пусть $t$ — формальная переменная. Покажите, что

$$\frac d{dt}e^{t(A+B)}=(A+B)e^{t(A+B)}=e^{t(A+B)}(A+B).$$

(b) Теперь предположим, что $[A,B]=c$, где $c$ — обычное комплексное число, умноженное на единичный оператор. Докажите, что

$$e^ABe^{-A}=B+c.\tag{1}$$

Указание: определите операторнозначную функцию $F(t)\equiv e^{tA}Be^{-tA}$. Чему равно $F(0)$? Выведите дифференциальное уравнение для $F(t)$ и проинтегрируйте его.

Примечание источника: уравнение (1) — частный случай леммы Адамара, рассматриваемой далее в листке.

(c) Пусть $a$ — вещественное число, а $\hat p$ — оператор импульса. Покажите, что унитарный оператор сдвига

$$\hat T(a)\equiv e^{-ia\hat p/\hbar}$$

сдвигает оператор координаты:

$$\hat T^\dagger(a)\hat x\hat T(a)=\hat x+a.$$

Если состояние $|\psi\rangle$ описывается волновой функцией $\langle x|\psi\rangle=\psi(x)$, покажите, что состояние $\hat T(a)|\psi\rangle$ описывается волновой функцией $\psi(x-a)$.