Координата и импульс в разных представлениях

На лекции было показано, что

$$\langle x|\hat p|\psi\rangle=\frac\hbar i\frac d{dx}\langle x|\psi\rangle.$$

(a) Покажите, что

$$\langle x|\hat p^n|\psi\rangle=\left(\frac\hbar i\frac d{dx}\right)^n\psi(x).$$

(b) Покажите, что в импульсном представлении оператор $\hat x$ имеет вид $i\hbar\frac d{dp}$, то есть

$$\langle p|\hat x|\psi\rangle=i\hbar\frac d{dp}\langle p|\psi\rangle.$$

(c) Используя результат (b), вычислите действие $[\hat x,\hat p]$ на вектор состояния $|\psi\rangle$ в импульсном представлении. Убедитесь, что получается ожидаемый результат.