Гауссово состояние с минимальной неопределённостью

На занятии было показано, что для двух эрмитовых операторов $A$ и $B$ неравенство неопределённостей

$$(\Delta A)^2(\Delta B)^2\geq\left(\langle\Psi|\frac1{2i}[A,B]|\Psi\rangle\right)^2$$

обращается в равенство на состоянии $|\Psi\rangle$, удовлетворяющем условию

$$(B-\langle B\rangle)|\Psi\rangle=i\gamma(A-\langle A\rangle)|\Psi\rangle,\quad\text{где }\gamma=\pm\frac{\Delta B}{\Delta A}.$$

Проверьте это утверждение явно для гауссовых состояний

$$\psi(x)=Ne^{i\langle p\rangle x/\hbar}e^{-x^2/(2\Delta^2)},$$

в которых неравенство неопределённостей для произведения неопределённостей $\hat x$ и $\hat p$ обращается в равенство.