Предел скорости изменения квантового состояния

Для эрмитова оператора $Q$ и не зависящего от времени гамильтониана $H$ было доказано соотношение неопределённостей

$$\Delta H\,\Delta Q\geq\frac\hbar2\left|\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right|,\tag{1}$$

причём $\Delta H$ не зависит от времени.

Исследуем неравенства для перекрытия $|\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2$. Для удобства преобразований запишем

$$\cos^2\phi(t)\equiv|\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2.\tag{2}$$

Правая часть никогда не превышает единицы, а знание фазы $\phi(t)$ эквивалентно знанию перекрытия. При $t=0$ примем $\phi(0)=0$. По мере эволюции, когда правая часть становится меньше единицы, выберем $\phi$ в интервале

$$0\leq\phi(t)\leq\frac\pi2.\tag{3}$$

Этого достаточно, чтобы учесть возможность обращения перекрытия в нуль при достижении $\phi$ верхней границы.

Обозначим состояние системы через $|\Psi(t)\rangle$ и возьмём в качестве $Q$ проектор на начальное состояние:

$$Q\equiv|\Psi(0)\rangle\langle\Psi(0)|.\tag{4}$$

(a) Используя соотношение неопределённостей (1), докажите ограничение на скорость изменения фазы $\phi$:

$$\left|\frac{d\phi}{dt}\right|\leq\frac{\Delta H}{\hbar}.\tag{5}$$

Поскольку правая часть не зависит от времени, это простая граница: скорость изменения $\phi$ ограничена неопределённостью энергии. Сделайте вывод, что при не зависящем от времени гамильтониане минимальное время $\Delta t_\perp$, за которое любое состояние с неопределённостью энергии $\Delta H$ может перейти в ортогональное, удовлетворяет условию

$$\Delta H\Delta t_\perp\geq\frac h4.\tag{6}$$

(b) Покажите, что из (5) следует

$$\begin{aligned}|\langle\Psi(0)|\Psi(t)\rangle|^2&\geq\cos^2\left(\frac{\Delta Ht}{\hbar}\right),\\t&\leq\frac{\pi\hbar}{2\Delta H}.\end{aligned}\tag{7}$$