Правила сумм и квантовая теорема вириала

Рассмотрите гамильтониан

$$\hat H=\frac1{2m}\hat p^2+V(\hat x)$$

одномерной квантовой системы с дискретным набором собственных функций:

$$H|a\rangle=E_a|a\rangle.$$

Вычисляя матричные элементы подходящих коммутаторов, выведите следующие соотношения.

(a)

$$\sum_{a'}|\langle a|\hat x|a'\rangle|^2(E_{a'}-E_a)=\frac{\hbar^2}{2m}.$$

Это правило сумм Томаса—Райхе—Куна.

Указание: рассмотрите $[[\hat x,\hat H],\hat x]$.

(b)

$$\langle a|\hat p|a'\rangle=\frac{im}{\hbar}(E_a-E_{a'})\langle a|\hat x|a'\rangle.$$

Указание: рассмотрите $[\hat H,\hat x]$.

Затем покажите, что

$$\sum_{a'}|\langle a|\hat x|a'\rangle|^2(E_a-E_{a'})^2=\frac{\hbar^2}{m^2}\langle a|p^2|a\rangle.$$

Это ещё одно правило сумм с весами, зависящими от энергии.

(c)

$$\langle a|\frac{\hat p^2}{2m}|a\rangle=\frac12\langle a|\hat x\partial_{\hat x}V(\hat x)|a\rangle.$$

Указание: рассмотрите $[\hat x\hat p,\hat H]$.

Это квантовомеханическая теорема вириала, которую обычно записывают в виде

$$2\langle T\rangle=\left\langle x\frac{dV}{dx}\right\rangle,$$

где $T$ — кинетическая энергия, а усреднение берётся по стационарному состоянию. Для $V(x)=\alpha x^n$ запишите вытекающее отсюда соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергий.