Алгебра и неопределённости одномерного осциллятора

(a) Было показано, что основное собственное состояние энергии $|0\rangle$ — единственное состояние, уничтожаемое понижающим оператором $\hat a$. Алгебраически докажите, что возбуждённые состояния осциллятора невырождены: покажите, что вырождение возбуждённого состояния означало бы вырождение основного.

(b) Используя $[a,a^\dagger]=1$, докажите, что $[a,(a^\dagger)^n]=n(a^\dagger)^{n-1}$.

(c) В базисе $\{|n\rangle\}$ найдите матричные представления операторов $\hat a$, $\hat a^\dagger$, $\hat x$, $\hat p$, $\hat x^2$, $\hat p^2$ и оператора числа квантов $\hat N=\hat a^\dagger\hat a$. Для этого приведите общие формулы матричных элементов $O_{mn}$ каждого оператора $O$. Явно выпишите соответствующие усечённые матрицы размером 4×4 при $m,n=0,1,2,3$.

(d) Используя матрицы 4×4 для $\hat x$ и $\hat p$, вычислите $[\hat x,\hat p]$. Получилась ли матрица $i\hbar I$? Объясните.

(e) Из предыдущих результатов должно следовать:

$$\begin{aligned}\langle n|\hat x^2|n\rangle&=\frac{\hbar}{m\omega}\left(n+\frac12\right),\\\langle n|\hat p^2|n\rangle&=m\hbar\omega\left(n+\frac12\right).\end{aligned}$$

Найдите неопределённости $\Delta x$ и $\Delta p$ в состоянии $|n\rangle$. Достигается ли нижняя граница произведения неопределённостей? Как $\Delta x$ связана с максимальным отклонением классического осциллятора с той же энергией и теми же $m$ и $\omega$?