Двумерный осциллятор и момент импульса

Частица массы $m$ может двигаться в плоскости $(x,y)$ в гармоническом потенциале с центром в начале координат. Восстанавливающие силы вдоль направлений $x$ и $y$ различны. Гамильтониан системы:

$$\begin{aligned}\hat H&=\frac1{2m}\hat p_x^2+\frac1{2m}\hat p_y^2\\&\quad+\frac12m\omega_x^2\hat x^2+\frac12m\omega_y^2\hat y^2.\end{aligned}\tag{1}$$

Здесь $[\hat x,\hat p_x]=[\hat y,\hat p_y]=i\hbar$, а все остальные коммутаторы между $\hat x$, $\hat y$, $\hat p_x$ и $\hat p_y$ равны нулю.

(a) Введите понижающие и повышающие операторы $\hat a_x$, $\hat a_y$, $\hat a_x^\dagger$ и $\hat a_y^\dagger$, а также $\hat N_x=\hat a_x^\dagger\hat a_x$ и $\hat N_y=\hat a_y^\dagger\hat a_y$. Выразите $\hat H$ через эти операторы. Найдите собственные состояния энергии и её собственные значения.

Для одномерного осциллятора аналогичные результаты имели вид $|n\rangle=\frac1{\sqrt{n!}}[\hat a^\dagger]^n|0\rangle$ и $E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$. Здесь нужно ввести $n_x$ и $n_y$.

(b) Постройте диаграмму энергетических уровней системы. Для наглядности считайте $\omega_x\approx\omega_y$ и для определённости возьмите $\omega_x>\omega_y$. Включите хотя бы первые три группы состояний. Укажите их значения $n_x$ и $n_y$.

Теперь определите новые операторы:

$$\begin{aligned}\hat N&=\hat N_x+\hat N_y,\\\hat n&=\hat N_x-\hat N_y.\end{aligned}$$

Заметьте, что они коммутируют с $\hat H$. Поэтому собственные состояния энергии можно пометить числами $n$ и $N$ — собственными значениями $\hat n$ и $\hat N$.

(c) Чему равно $E_{N,n}$? Перерисуйте диаграмму уровней, пометив состояния квантовыми числами $n$ и $N$. По рисункам определите, какие из наборов $\{\hat N\}$, $\{\hat N,\hat n\}$, $\{\hat N_x,\hat N_y\}$ и $\{\hat H\}$ являются полными наборами коммутирующих наблюдаемых. Как изменятся ответы при $\omega_x=\omega_y$? Как они изменятся, если отношение $\omega_x/\omega_y$ рационально?

Далее примем $\omega_x=\omega_y=\omega$ и определим оператор момента импульса:

$$\hat\ell=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x.\tag{2}$$

(d) Выразите $\hat\ell$ через $\hat a_x$, $\hat a_y$, $\hat a_x^\dagger$ и $\hat a_y^\dagger$. Покажите, что $\hat\ell$ коммутирует с $\hat H$, поэтому оба оператора можно диагонализировать одновременно.

(e) Рассмотрите вырожденное подпространство всех собственных состояний энергии с $N$-м собственным значением. Найдите в этом подпространстве базис из собственных векторов $\hat\ell$. Классифицируйте их по собственным значениям момента импульса и покажите, что $\hat H$ и $\hat\ell$ вместе образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых для всего гильбертова пространства.

Указание: определите

$$\begin{aligned}\hat a_L&=\frac1{\sqrt2}(\hat a_x+i\hat a_y),\\\hat a_R&=\frac1{\sqrt2}(\hat a_x-i\hat a_y),\\\hat N_L&=\hat a_L^\dagger\hat a_L,\\\hat N_R&=\hat a_R^\dagger\hat a_R\end{aligned}$$

и выразите $\hat H$ и $\hat\ell$ через $\hat N_L$ и $\hat N_R$.