Теорема Эренфеста и меняющееся электрическое поле

(a) Рассмотрите гамильтониан $\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x)$ и выведите гейзенберговские уравнения движения для $\hat x_H(t)$ и $\hat p_H(t)$. Используя результаты, получите теорему Эренфеста:

$$\begin{aligned}\frac d{dt}\langle\hat x\rangle&=\frac{\langle\hat p\rangle}{m},\\\frac d{dt}\langle\hat p\rangle&=-\langle V'(\hat x)\rangle.\end{aligned}\tag{1}$$

Здесь $\langle\hat x\rangle=\langle\psi,0|\hat x_H(t)|\psi,0\rangle=\langle\psi,t|\hat x|\psi,t\rangle$, и аналогично для других операторов. Объедините эти уравнения, чтобы получить уравнение для $\frac{d^2}{dt^2}\langle\hat x\rangle$. Объясните, при каких условиях на потенциал оно сводится к классическому закону Ньютона.

(b) Рассмотрите свободную частицу в нормированном состоянии со средними координатой и импульсом при $t=0$, равными $x_0$ и $p_0$. По теореме Эренфеста определите $\langle\hat x\rangle$ как функцию времени.

(c) Теперь пусть частица имеет заряд $q$ и на неё действует меняющееся со временем электрическое поле, так что $V(\hat x)=qE_0\hat x\sin(\omega t)$. Покажите, что теперь в общем случае $[\hat H(t_1),\hat H(t_2)]\neq0$ при $t_1\neq t_2$. Вернитесь к шагам вывода (1) и объясните, почему это уравнение всё ещё справедливо.

(d) Найдите $\langle\hat x\rangle$ как функцию времени для ситуации из (c).