Теорема вириала для центрального потенциала

Рассмотрите гамильтониан частицы в трёх измерениях в центральном потенциале:

$$H=\frac{\vec p^{\,2}}{2m}+V(r),$$

а также шрёдингеровский оператор $\Omega\equiv\vec r\cdot\vec p$. Обозначим соответствующий гейзенберговский оператор через $\Omega_H(t)$.

(a) С помощью гейзенберговского уравнения движения вычислите скорость изменения $\frac d{dt}\Omega_H(t)$. Правая часть ответа должна быть выражена через гейзенберговские операторы $\vec p_H^{\,2}$, $\vec r_H$, производные $V(r_H)$ и постоянные.

(b) Рассмотрите стационарное состояние $|\Psi,t\rangle$ и любой гейзенберговский оператор $O_H(t)$, происходящий от не зависящего от времени шрёдингеровского оператора. Подробно объясните, почему

$$\langle\Psi,0|\frac d{dt}O_H(t)|\Psi,0\rangle=0.$$

(c) Используя результаты (a) и (b), покажите, что для потенциала $V(r)=c/r^k$, где $c$ — постоянная, а $k$ — положительное целое число,

$$\langle T\rangle=-\frac k2\langle V\rangle.$$

Здесь среднее берётся по стационарному состоянию, $T$ — оператор кинетической энергии $\vec p^{\,2}/(2m)$, а $V$ — потенциал.