Волновой пакет под действием постоянной силы

Исследуем эволюцию волнового пакета под действием постоянной силы. В этом случае уравнение Шрёдингера решить трудно, но гейзенберговские уравнения для зависящих от времени операторов решаются легко и позволяют многое узнать о движении.

Пусть квантовая частица описывается гамильтонианом

$$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+g\hat x.$$

Он соответствует постоянной силе $F=-dV/dx=-g$.

(a) С помощью гейзенберговских уравнений движения покажите, что операторы $\hat x_H(t)$ и $\hat p_H(t)$ удовлетворяют аналогу закона Ньютона $F=ma$. Проинтегрируйте уравнения и получите $\hat x_H(t)$ через $\hat x_H(0)=\hat x$ и $\hat p_H(0)=\hat p$.

(b) Пусть при $t=0$ координатная волновая функция частицы равна

$$\langle x|\psi\rangle=\psi(x)=Ne^{-x^2/(2\Delta^2)},$$

где постоянная $N$ нормирует $\psi$ к единице. Вычислите $\langle\psi|\hat x_H(t)|\psi\rangle$ и покажите, что это среднее ведёт себя классически.

(c) Вычислите квадрат неопределённости координаты: $(\Delta x(t))^2=\langle\hat x_H^2(t)\rangle-\langle\hat x_H(t)\rangle^2$. Покажите, что он растёт квадратично со временем,

$$(\Delta x(t))^2=(\Delta x(0))^2+\lambda t^2,$$

и найдите коэффициент $\lambda$. Как расплывание волнового пакета зависит от $g$?