Гармонический осциллятор под действием постоянной силы

Квантовый гармонический осциллятор под действием постоянной силы величины $F$, направленной вдоль положительной полуоси $x$, описывается гамильтонианом

$$H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac12m\omega^2\hat x^2-F\hat x.$$

Заметьте, что если $[\hat x,\hat p]=i\hbar$, то $[\hat x-x_0,\hat p]=i\hbar$ при любой постоянной $x_0$. Поэтому $\hat y\equiv\hat x-x_0$ и $\hat p$ образуют пару сопряжённых переменных.

(a) Найдите энергию основного состояния $H$. Чему равно $\langle\hat x\rangle$ в основном состоянии?

(b) Основное состояние $|0'\rangle$ гамильтониана $H$ можно записать в виде

$$|0'\rangle=Ne^{\alpha\hat a^\dagger}|0\rangle,$$

где $\hat a^\dagger$ и $|0\rangle$ — соответственно повышающий оператор и основное состояние невозмущённого гамильтониана при $F=0$. Найдите вещественное число $\alpha$. Указание: рассмотрите операторы $\hat a_y$ и $\hat a_y^\dagger$, построенные из $\hat y$ и $\hat p$.