Когерентное состояние гармонического осциллятора

Задача посвящена повторению свойств когерентных состояний. Ответы на некоторые вопросы есть в конспекте лекций. Для большей пользы старайтесь как можно меньше обращаться к конспекту.

Для любого комплексного числа $\alpha$ определим когерентное состояние:

$$|\alpha\rangle\equiv e^{\alpha\hat a^\dagger-\alpha^*\hat a}|0\rangle.$$

(a) Покажите, что $\hat a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$.

(b) Представьте $|\alpha\rangle$ как суперпозицию собственных состояний энергии $|n\rangle$. Какова вероятность того, что частица в состоянии $|\alpha\rangle$ имеет энергию $E_n$?

(c) Вычислив $\langle\beta|\alpha\rangle$, покажите, что любые два различных когерентных состояния $|\alpha\rangle$ и $|\beta\rangle$ неортогональны.

(d) Найдите $\Delta H/\langle H\rangle$ в состоянии $|\alpha\rangle$ и покажите, что это отношение уменьшается с ростом $|\alpha|$.

(e) Вычислите $\langle\alpha|\hat x|\alpha\rangle$ и $\langle\alpha|\hat p|\alpha\rangle$. Найдите $\Delta x$ и $\Delta p$ в состоянии $|\alpha\rangle$ и покажите, что это состояние с минимальной неопределённостью.

(f) Разложите начальное состояние $|\alpha\rangle$ при $t=0$ в суперпозицию собственных состояний энергии и запишите выражение для состояния во все последующие моменты $t>0$. Покажите, что оно остаётся когерентным с некоторым значением $\alpha(t)$, которое нужно определить.

(g) Вычислите зависящие от времени средние значения $\langle\hat x\rangle$, $\langle\hat p\rangle$, $\langle\hat H\rangle$ и неопределённости $\Delta x$, $\Delta p$, считая, что при $t=0$ система находится в когерентном состоянии $|\alpha_0\rangle$ с вещественным $\alpha_0$.