Сжатое состояние и флуктуации электрического поля

Здесь у операторов $a$ опущены шляпки.

Рассмотрите нормированное сжатое вакуумное состояние $|0_\gamma\rangle$, где $\gamma\in\mathbb R$:

$$\begin{aligned}|0_\gamma\rangle&\equiv S(\gamma)|0\rangle,\\S(\gamma)&=\exp\left(-\frac\gamma2(a^\dagger a^\dagger-aa)\right).\end{aligned}$$

Для когерентных состояний использовался действующий на вакуум оператор $D(\alpha)$:

$$\begin{aligned}D(\alpha)&=\exp(\alpha a^\dagger-\alpha^*a),\\|\alpha\rangle&=D(\alpha)|0\rangle.\end{aligned}$$

Более общие сжатые состояния $|\alpha,\gamma\rangle$ получаются сначала сжатием, затем сдвигом:

$$|\alpha,\gamma\rangle\equiv D(\alpha)S(\gamma)|0\rangle.$$

Заметьте, что $|0,\gamma\rangle=|0_\gamma\rangle$, а $|\alpha,0\rangle=|\alpha\rangle$.

(a) Вычислите оператор $a(\gamma)$, определённый соотношением

$$a(\gamma)=S^\dagger(\gamma)aS(\gamma).$$

Для этого выведите дифференциальное уравнение второго порядка для $a(\gamma)$. В ответе нужно выразить $a(\gamma)$ как линейную комбинацию $a$ и $a^\dagger$. Запишите также соответствующее выражение для $a^\dagger(\gamma)\equiv(a(\gamma))^\dagger$ и проверьте значение коммутатора $[a(\gamma),a^\dagger(\gamma)]$.

(b) Вычислите среднее значение $\langle N\rangle$ оператора числа квантов $N=a^\dagger a$ и его неопределённость $\Delta N$ в сжатом вакууме $|0_\gamma\rangle$. Ответы должны зависеть только от $\gamma$. Найдите отношение $\Delta N/\langle N\rangle$ и постройте его график как функции $\gamma$. Можно ли сделать это отношение малым?

(c) Вычислите $\langle N\rangle$ в обобщённом состоянии $|\alpha,\gamma\rangle$. Здесь $\alpha$ может быть комплексным.

(d) На занятии было показано, что оператор электрического поля в некоторой точке пространства для одномодового электромагнитного поля частоты $\omega$ имеет вид

$$\hat E(t)=\mathcal E_0(ae^{-i\omega t}+a^\dagger e^{i\omega t}),$$

где $\mathcal E_0$ — вещественная постоянная. Вычислите среднее значение $\langle\hat E(t)\rangle$ и неопределённость $\Delta E(t)$ в состоянии $|\alpha,\gamma\rangle$.