Уравнения Максвелла и квантование моды резонатора

Рассмотрите электромагнитные поля в резонаторе, заданные уравнением (5.38) обновлённого конспекта лекций, раздел 5.3. Используются обозначения, в которых $E$ и $cB$ имеют одинаковые единицы. Запишите все четыре уравнения Максвелла в соответствующих единицах и выведите следующие из них условия на $q(t)$ и $p(t)$.

Используя (5.40), выведите уравнения движения для гейзенберговских операторов $\hat q(t)$ и $\hat p(t)$ и покажите, что они совпадают с условиями, полученными из уравнений Максвелла.

Тем самым показывается, что гамильтониан $H(\hat q,\hat p)$ даёт корректную квантовую теорию классической электромагнитной моды резонатора.

Контекст из конспекта: рассматривается прямоугольный резонатор объёма $V$ с одной модой частоты $\omega$, $k=\omega/c$. Поля образуют стоячую волну:

$$\begin{aligned}E_x(z,t)&=\sqrt{\frac2{V\epsilon_0}}\,\omega q(t)\sin kz,\\cB_y(z,t)&=\sqrt{\frac2{V\epsilon_0}}\,p(t)\cos kz.\end{aligned}\tag{5.38}$$

Соответствующий квантовый гамильтониан и коммутационное соотношение:

$$H=\frac12(\hat p^2+\omega^2\hat q^2),\tag{5.40}$$

$$[\hat q,\hat p]=i\hbar.$$

Классические $q(t)$ и $p(t)$ в квантовой теории становятся гейзенберговскими операторами $\hat q(t)$ и $\hat p(t)$.