Туннелирование между двумя отделениями ящика

Ящик с частицей разделён перегородкой на левое и правое отделения. Если частица с достоверностью находится слева, назовём её состояние $|L\rangle$, а если справа — $|R\rangle$. Из всех возможных состояний $|L\rangle$ и $|R\rangle$ рассматриваются только состояния с наименьшей энергией, так что получается двухуровневая задача. Считайте ящик симметричным и выберите нуль энергии так, чтобы $\langle L|\hat H|L\rangle=\langle R|\hat H|R\rangle=0$. Однако гамильтониан не равен нулю: частица может туннелировать через перегородку благодаря связи

$$\hat H=\Delta(|L\rangle\langle R|+|R\rangle\langle L|),$$

где $\Delta$ — вещественная величина с размерностью энергии.

(a) Найдите нормированные собственные состояния энергии и соответствующие собственные значения.

(b) Пусть при $t=0$ вектор состояния равен

$$|\psi,0\rangle=c_L|L\rangle+c_R|R\rangle.$$

Применив оператор эволюции, найдите $|\psi,t\rangle$.

(c) Пусть при $t=0$ частица с достоверностью находится справа. Найдите вероятность обнаружить её слева как функцию времени.

(d) Предположим, что по ошибке гамильтониан записали в виде

$$\hat H=\Delta|L\rangle\langle R|.$$

Что в нём неверно? Выполняя эволюцию с $\exp(-iHt/\hbar)$, как в (b), покажите, что вероятность не сохраняется.