Молекула аммиака в электрическом поле

Рассмотрите молекулу аммиака в электрическом поле $\varepsilon$. При условном выборе средней энергии равной нулю её гамильтониан имеет вид

$$H=\begin{pmatrix}\mu\varepsilon&-\Delta\\-\Delta&-\mu\varepsilon\end{pmatrix}.$$

Здесь $\mu$ — электрический дипольный момент, $\Delta>0$. Используется базис, в котором $|1\rangle=|\uparrow\rangle$ и $|2\rangle=|\downarrow\rangle$ соответствуют положению атома азота над и под плоскостью атомов водорода. Эти состояния не являются собственными состояниями энергии.

(a) Покажите, что гамильтониан можно записать как

$$H=-K\mathbf n\cdot\boldsymbol\sigma,$$

где $K>0$ — некоторая постоянная, а $\mathbf n$ — единичный вектор с полярными углами $(\theta,\phi)$. Выразите их через величины исходного гамильтониана.

(b) Найдите собственные значения и собственные состояния энергии. Запишите состояния в базисе $|\uparrow\rangle$, $|\downarrow\rangle$ через углы $\theta$ и $\phi$.

(c) Рассмотрите случаи $\mu\varepsilon\ll\Delta$, то есть фактически $\mu\varepsilon=0$, и $\mu\varepsilon\gg\Delta$, то есть фактически $\Delta=0$. В каждом случае определите $\theta$, собственные значения энергии и собственные состояния. Прокомментируйте результаты.

(d) Постройте графики двух собственных значений энергии как функций $\varepsilon$. Отметьте рассмотренные предельные случаи.

(e) Сначала поле выключено, $\varepsilon=0$, и система находится в состоянии $|\psi(0)\rangle=|\downarrow\rangle$. Опишите эволюцию как вращение спинового состояния. Позже включают очень сильное электрическое поле, так что $\mu\varepsilon\gg\Delta$. Какова дальнейшая эволюция состояния? Как включение сильного поля влияет на вероятность обнаружить систему в состоянии $|\uparrow\rangle$?