Эволюция спина при ядерном магнитном резонансе

Атом со спином ½ и магнитным моментом $\boldsymbol\mu=\gamma\mathbf S$ помещён в зависящее от времени магнитное поле, настроенное на резонанс:

$$\mathbf B(t)=B_0\mathbf z+B_1(\mathbf x\cos\omega_0t-\mathbf y\sin\omega_0t),\quad\omega_0=\gamma B_0.$$

Используя общее решение эволюции спинового состояния из лекции, ответьте на вопросы.

(a) Считая, что изначально спин направлен вдоль положительной полуоси $z$, то есть $|\psi(0)\rangle=|+\rangle$, найдите $|\psi(t)\rangle$. Опишите его как спин, ориентированный вдоль зависящего от времени направления $\mathbf n(t)$ с углами $\theta(t)$ и $\phi(t)$, которые нужно определить.

(b) Используя ответ, исключите $t$ и выразите $\phi$ как функцию $\theta$. Куда направлен спин, когда он впервые оказывается в плоскости $(x,y)$?

Общее решение из конспекта для поля с частотой $\omega$:

$$\mathbf B_R=B_1\mathbf x+B_0\left(1-\frac\omega{\omega_0}\right)\mathbf z.\tag{6.33}$$

$$\begin{aligned}|\Psi,t\rangle&=\exp\left(\frac{i\omega t\hat S_z}{\hbar}\right)\\&\quad\cdot\exp\left(\frac{i\gamma\mathbf B_R\cdot\mathbf S\,t}{\hbar}\right)|\Psi,0\rangle.\end{aligned}\tag{6.36}$$

В задаче $\omega=\omega_0$.