Корреляции синглета и неравенство Белла

Синглетом назовём запутанное состояние двух спинов с нулевым полным спином. Пусть $\mathbf a$ и $\mathbf b$ — единичные векторы. Следуя логике Эйнштейна—Подольского—Розена, рассмотрите коэффициент корреляции $C(\mathbf a,\mathbf b)$ — среднее по ансамблю синглетов произведение измеренных проекций спина первой частицы на $\mathbf a$ и второй частицы на $\mathbf b$:

$$C(\mathbf a,\mathbf b)\equiv\left[\frac4{\hbar^2}S_{\mathbf a}^{(1)}S_{\mathbf b}^{(2)}\right]_{\mathrm{av}}.$$

Результат измерения проекции спина может быть только $\pm\hbar/2$, поэтому это среднее лежит между минус единицей и единицей.

Теперь рассмотрите три направления $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$ и измеряемую величину

$$\begin{aligned}g(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)&\equiv-\frac4{\hbar^2}S_{\mathbf a}^{(1)}S_{\mathbf b}^{(1)}\\&\quad\cdot\left(1-\frac4{\hbar^2}S_{\mathbf b}^{(1)}S_{\mathbf c}^{(1)}\right).\end{aligned}$$

Все верхние индексы относятся к первой частице. В смысле Эйнштейна—Подольского—Розена величины $S_{\mathbf n}^{(i)}$ здесь не операторы, а возможные результаты измерений. Поэтому для любого единичного $\mathbf n$ выполняется $S_{\mathbf n}^{(1)}S_{\mathbf n}^{(1)}=\hbar^2/4$, а антикорреляции синглета позволяют использовать

$$S_{\mathbf n}^{(1)}=-S_{\mathbf n}^{(2)}.$$

(a) Покажите, что

$$[g(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)]_{\mathrm{av}}=C(\mathbf a,\mathbf b)-C(\mathbf a,\mathbf c).$$

(b) Используя неравенство

$$|[g]_{\mathrm{av}}|\leq[|g|]_{\mathrm{av}},$$

где $|\ldots|$ обозначает модуль, покажите, что

$$|C(\mathbf a,\mathbf b)-C(\mathbf a,\mathbf c)|-C(\mathbf b,\mathbf c)\leq1.\tag{1}$$

Этому неравенству должна удовлетворять корректная теория в смысле Эйнштейна—Подольского—Розена.

(c) В квантовой механике $S_{\mathbf a}^{(1)}$ и $S_{\mathbf b}^{(2)}$ — операторы проекций спина первой и второй частиц на единичные векторы $\mathbf a$ и $\mathbf b$. Коэффициент $C(\mathbf a,\mathbf b)$ равен среднему их произведения в синглете:

$$C(\mathbf a,\mathbf b)\equiv\left\langle\frac4{\hbar^2}S_{\mathbf a}^{(1)}S_{\mathbf b}^{(2)}\right\rangle.$$

Докажите, что

$$C(\mathbf a,\mathbf b)=-\cos\theta_{ab},$$

где $\theta_{ab}$ — угол между $\mathbf a$ и $\mathbf b$.

(d) Пусть $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$ лежат в одной плоскости, причём $\theta_{ab}=\theta_{bc}=\theta$ и $\theta_{ac}=2\theta$. Постройте левую часть (1) как функцию $\theta$ и покажите, что неравенство нарушается при $0<\theta<\pi/2$.